Stronę założyć możesz, ale już sprzedaż (bo rozumiem, że o to chodzi) czegokolwiek - o ile się nie mylę - to zwyczajna działalność gospodarcza, a więc, jak słusznie przypuszczałaś, należy robić to w jakiejś usankcjonowanej formie. To oczywiście pociąga za sobą pewne podstawowe odpowiedzialności - ZUS, US, minimalna księgowość. To nie musi być straszne przy zwyczajnej jednoosobowej działalności gospodarczej, więc może warto się pokusić.
Możesz to robić równocześnie pracując. Po prostu masz wówczas więcej niż jedno źródło dochodu. Nieco trudniej chyba będzie Ci w takiej sytuacji korzystać z ewentualnych dotacji dla ON na takie działania, ale może tego nie potrzebujesz:)

UWAGA: Nie jestem profesjonalnym doradcą podatkowym, moje opinie można stosować wyłącznie na własne ryzyko!

> Czy mogę to zrobić pracując bez zakładania działalności gospodarczej

Dość niejasno piszesz co chciałabyś z tą stroną robić. Definicja działalności gospodarczej wg. ustawy o podatku dochodowym osób fizycznych:

działalność zarobkową: [tu ustawa wymienia typy] prowadzoną we własnym imieniu bez względu na jej rezultat, w sposób zorganizowany i ciągły, z której uzyskane przychody nie są zaliczane do innych przychodów ze źródeł wymienionych w art. 10 ust. 1 pkt 1, 2 i 4-9.

Istnieją więc takie rodzaje wykonywania usług, które nie są związane z działalnością gospodarczą. Ja np. przyjmowałam zlecenia na tłumaczenie w ramach tzw. "działalności wykonywanej osobiście" która jest czymś innym niż działalność gospodarcza. Jednak bez konkretniejszych informacji chyba nie sposób bawić się w zgadywanie - najlepiej pewnie pójść pogadać na temat Twojego pomysłu na biznes z kimś oblatanym w temacie (np. z jakimś dobrym księgowym). Warto pamiętać, że DG to bardzo realne koszty, które trzeba ponieść niezależnie od tego czy biznes przynosi zysk, więc porada fachowca pewnie się przyda także po to, żeby zweryfikować ewentualnie, czy masz dobrze przemyślany biznes.

> czy pracując mogę równocześnie założyć własną działalność gospodarczą?

O ile wiem, nie ma żadnych przeszkód, żeby jednocześnie być na etacie i coś innego robić na DG. Oczywiście poza opinią pracodawcy na ten temat...

Iota

>Ja np. przyjmowałam zlecenia na tłumaczenie w ramach tzw. "działalności wykonywanej osobiście" która jest czymś innym niż działalność gospodarcza>

owszem, istnieje działalność wykonywana osobiście, jednak nie można  ujednolicić tej formy działalności dla wszystkich, gdyż w niej zastosowano z dniem 01.01.2009 r zmiany w ustawie, które łączą się z płaceniem podatku, a także  zależy od rodzaju zlecenia, z kim zostało zawarte, w jakiej formie,  także w niektórych zleceniach odprowadzania składek zus, odsyłam do min.art. 30 ust. 1 pkt 5a.
Magda

>założyć swoją stronę internetową i proponować na niej własne prace i usługi>

promować i reklamować się  na stronie internetowej możesz, promować swoje prace, założyć możesz bezpłatnie, promować  możesz się  różnymi drogami, strona www, jak pytasz, promocja graficzna - plakatowa w miejscu gdzie jest określone, iż reklama jest bezpłatna, np. na słupach ogłoszeniowych, dopóki nie mówimy o zarabianiu czyli odpłatnej sprzedaży.
Inaczej się ma jeśli, pytasz o usługi - czyli zarobek. To wiąże się z podaniem ceny,  a o tym także ustawa o podatku mówi.

Inaczej się też mają przepisy, gdy osoba nie ma żadnych źródeł dochodu oprócz tych co chce sprzedać z "działalności wykonywanej osobiście", a inaczej gdy ma już jedno jedno stałe, tu dla przykładu Magda jest zatrudniona w ZPCh, wówczas dochody  sumuje się do rocznego zeznania  zeznania podatkowego